הגרלת מספרים בלוטו--לא אקראית--מאמר ממגזין גלילאו

בהגרלת הלוטו הארצית מוצעים פרסי עתק למי שיצליח לנחש מבעוד מועד את המספרים העתידים לעלות בגורל. בניגוד להנחה רווחת, אין מדובר במשחק מזל טהור.

עיון בכללי המשחק ובדפוסי הניחוש של ציבור המהמרים מגלה, כי לא יהיה זה נכון לתאר את המשתתף כשחקן הנתון בזירה של הטלת גורל, בלא כל הזדמנות לשיקול דעת אסטרטגי. עוד מתברר כי לחלק מרוכשי הכרטיסים אין שום סיכוי לגרוף את המיליונים.

הגרלת הלוטו ומזל טהור

הגרלת הלוטו הנהוגה בעשורים האחרונים במדינות המערב מציעה לכל אחד ואחת את ההזדמנות הקורצת להתעשר בן רגע. טבעי אולי היה לחשוב, כי מדובר במשחק מזל טהור - כזה שתוצאותיו נקבעות מכוח הגורל בלבד, ולפיכך אין, ולא יכול להיות, שום שיקול אסטרטגי רציונלי שיש טעם להביא בחשבון בעת מילוי המספרים בטופס. ואמנם, ההגרלה מתוארת לעתים קרובות, גם בספרות המקצועית, כמשחק על טהרת המזל, שבו יד המקרה לבדה מכריעה כיצד ייפול דבר, ושום אמצעי שינקוט המשתתף לא יוסיף ולא יגרע. כך, למשל, במאמר סקירה שנושאו הפסיכולוגיה הקוגניטיבית של ההימור בלוטו, קובע המחבר, פול רוג'רס, כי "במשחק הלוטו אין שום הזדמנות לעשות שימוש ביכולת"¹ . עמדה זו, אף שהיא חוזרת ומושמעת, איננה מדויקת. וחשוב מכך - בטעות מושגית יסודה.

התפישה המתייחסת ללוטו כאל משחק מזל טהור מקבלת ביטוי בהזדמנויות שונות. מחקר שדה שבחן את התכונה הפסיכולוגית של שאיפת שליטה השווה בין שחקני לוטו הבוחרים בעצמם את המספרים בטופס ההימור, לשחקנים המשתמשים במחולל המספרים הממוחשב. הלוטו שימש כ"מצב שבו אין כל אפשרות לשליטה... מצב שבו התוצאות נקבעות ביד המקרה"² .

במחקר אחר, אשר דן במשתנים המנבאים השתתפות במשחקי הלוטו, הוסבר כי ההבדל העיקרי בין הלוטו לבין סוגי הימור אחרים הוא ש"הגרלות הלוטו הן במאת האחוזים אירועי מקריות, ואינן מקנות למהמר כל הזדמנות להשפיע על התוצאה או להשתמש במיומנות בדרך כלשהי"³ . במאמר שעסק בהטיות תפישה ובטעויות חשיבה העומדות בבסיס בחירת המספרים להימור בלוטו, הבהירו המחברים כי: "כל הרציונליזציות הקוגניטיביות לבחירת כרטיסי לוטו הן למעשה בלתי רציונליות. לאמתו של דבר לכל הכרטיסים סיכוי שווה לזכות"⁴ . ואכן, לכל הניחושים סיכוי זהה, וההכרעה תיפול בהטלת גורל, אך האומנם נכון לקבוע שאין שום שיקול טקטי רציונלי שיוכל המשתתף להפעיל כדי להשפיע על הישגיו במשחק?

השפעה על גובה הזכייה הצפויה

קו המחשבה מאחורי הקביעות המצוטטות גורס, כי היות ואין בנמצא כל אמצעי שיוכל לשפר את סיכויי הזכייה, הרי שממילא אין כל אמצעי שיוכל להביא תועלת למנחש. ואולם, לא זו בלבד שקיים אמצעי שיש עמו תועלת, אלא שגם לולא היה אמצעי כזה קיים, שגוי להסיק כי אין דבר מועיל שאפשר לעשותו רק על בסיס ההנחה, כי אין דבר מועיל שאפשר לעשותו על מנת להגדיל את ההסתברות לזכייה.

הסברה כאילו הגרלת הלוטו היא משחק מזל טהור מבוססת על האקראיות בקביעת המספרים הזוכים. בהנחה שמדובר בהגרלה הוגנת ובתוצאות מקריות, הרי שלכל הֶרכב מספרים אפשרי ישנה אותה ההסתברות לעלות בגורל. למשתתף אין כל דרך להגדיל את סיכויי הזכייה בניחוש יחיד. יהיו אשר יהיו המספרים שעליהם יהמר - סיכויי הזכייה יעמדו בעינם. אלא שכדי לקבוע כי הגרלת הלוטו היא משחק מזל טהור, לא די בכך שאין אפשרות להשפיע על סיכויי הזכייה - יש להראות כי גם על גובה הזכייה הצפויה אין כל אפשרות להשפיע.

בשיטת הפרסים הנהוגה בהגרלת הלוטו מחולק סכום הפרס שווה בשווה בין כל המנחשים הזכאים לו. כך לגבי הפרס הגדול, וכך לגבי הפרסים המשניים (למעט לעתים האחרון). הפרס הכספי הנופל בחלקו של כל זוכה קטן ככל שרבים שותפיו. ייטיב אפוא לעשות ממלא הטופס אם יבדיל את עצמו ככל האפשר בבחירת המספרים מרוכשי הכרטיסים האחרים, כך שבמקרה של זכייה, יצטמצם מספר השותפים שעמם ייאלץ לחלוק את השלל, ויגדל נתח הפרס שיוטל לכיסו. ככל שצירוף המספרים שתנחש נדיר יותר בקרב ציבור המהמרים, כך תרכוש, הלכה למעשה, כרטיס להגרלה הנושאת פרסים גדולים יותר.



 

הניחוש הנכון בהגרלת הלוטו

נשאלת כמובן השאלה, כיצד לתרגם את האסטרטגיה העקרונית של היבדלות מרבית לטקטיקה מעשית של סימון המספרים בטופס. אם כלל ציבור המנחשים היה ממלא את המספרים באופן אקראי, הרי שלא היה כל הבדל בין השכיחות הצפויה של מספר אחד לבין השכיחות הצפויה של משנהו. ואולם, אם הניחושים אינם מקריים, לא מן הנמנע שיסתמנו מגמות שיטתיות המבטאות דפוסי העדפה.

כדי לבחון את הסוגיה נשתמש בנתוני האמת של הניחושים שמולאו ונשלחו בפועל לאחת מהגרלות הלוטו של מפעל הפיס. תרשים 1 מציג את טופס הלוטו הרגיל ששימש להגרלה זו, וטבלה 1 מציגה את שכיחות ההופעה של מספרי הלוטו השונים בתוך מאגר כלל הניחושים.

טבלה 1: הפופולריות של מספרי הלוטו בקרב המנחשים

שכיחות ההופעה (באלפים) של מספרי הלוטו השונים בקרב כמיליון (989,402) ניחושים שנשלחו למפעל הפיס לקראת הגרלת הלוטו הארצית (10.12.2002).

הובאו בחשבון רק טופסי לוטו רגילים אשר סומנו במלואם באופן ידני במהלך שלושת הימים שקדמו להגרלה. (הנתונים אינם כוללים טפסים שיטתיים, טפסים לוטומטיים - כאלו שסומנו, בחלקם או במלואם, באופן אוטומטי על-ידי מחולל מספרים אקראיים ממוחשב, וטפסים רב-הגרלתיים שמולאו מבעוד מועד.)

בהנחה של סימון אקראי, כמות ההופעות הצפויה למספר לוטו עולה מעט על 130 אלף (.3131,920).

המספרים הנמוכים פופולריים יותר

מעיון בנתונים עולה בבירור כי בחירת המספרים איננה אקראית. אפשר להבחין כי מספרים נמוכים נבחרים יותר ממספרים גבוהים. כך, למשל, המספרים החד-ספרתיים, 1 עד 9, ממוקמים כולם במחצית העליונה של טבלת השכיחויות, כלומר פופולריים יחסית, בעוד שהמספרים הגבוהים, בטווח שמעל 31, נדחקים לתחתית, כלומר פופולריים פחות.

קל לשער כי אם בחירת המספרים לניחוש מושפעת משיקולים כגון תאריכים או מספרי מזל, ייהנו המספרים הנמוכים מעדיפות מסוימת. באופן כללי סביר יהיה להניח כי מספרים נמוכים נפוצים יותר בחיי היומיום, וצפויים להיקרות על דרכו של הפרט בתדירות גבוהה יותר, גורם שעשוי להשפיע אחר-כך על שיעור הופעתם בטופסי ההימור.

גם לאופן הסידור של מספרי הלוטו על פני טבלת המשחק עשויה להיות השפעה על הפופולריות של המספרים השונים. תרשים 2 מציג את ממצאי השכיחות שפורטו זה עתה כפי שהם מצטיירים על גבי המבנה המרחבי של לוח המשחק. מבט בתרשים מגלה לא רק שמספרים נמוכים נבחרים יותר ממספרים גבוהים, אלא גם שמספרים בפנים טבלת המשחק נבחרים יותר ממספרים בשוליה. גם לדפוס זה אפשר להציע הסבר שקשור בהטיה פסיכולוגית מוכרת, ועניינה - תפישת אקראיות.



 

המספר הפופולרי ביותר: 7

רוב האנשים מעדיפים לבחור בניחוש לוטו שנראה לטעמם אקראי ⁵. לצורך זה, לא כל המספרים - ולא כל תאי הטבלה - שווים זה לזה בעיני המתבונן, כלומר לא כולם נתפשים כ"מקריים" באותה המידה. מבחינת אקראיות סובייקטיבית, תכונת הקצה, המאפיינת את משבצות השוליים, עלולה להיות להן לרועץ משום שפריטי קיצון נתפשים כפחות מייצגים. אנשים מצפים שתוצר של הליך אקראי יהווה דוגמה מייצגת למערך שממנו הוצא⁶, ומתוך כך אפשר שתאי הטבלה שבשוליים נתפשים - בטעות כמובן - כמועמדים פחות טבעיים או פחות מתבקשים לעלייה בגורל בהשוואה לתאים מרכזיים יותר. הטיה אינטואיטיבית כזו, המשפיעה ולו במעט על תודעת המנחש, עשויה, כאשר בוחנים את התמונה המצרפית המתקבלת מדפוסי הבחירה של המוני משתתפים, להטות את הכף לכיוון המגמה המתגלה כאן של שכיחות-יתר למספרים שבפנים הטבלה.

המספר שבע הוא הפופולרי ביותר בקרב ציבור המהמרים. היחס המועדף שלו הוא זוכה איננו חדש לספרות הפסיכולוגית. כאשר אנשים מתבקשים לבחור מספר, שיעור גבוה במיוחד בוחר במספר שבע⁷ - יותר מפי שניים מכל ספרה אחרת. הסברה היא כי שבע, מלבד היותו מספר מזל נודע, נתפש בתור האקראי והספונטני שבין החד-ספרתיים, משום שלא מתקיימות בו תכונות של חוקיות ניכרת כמו נקודת אמצע או קיצון או יחסי כפילה עם הספרות האחרות ⁸.

בניגוד למספר המזל שבע, הפופולרי מכולם, המספר 34, חסר האופי, משתרך מאחור. מעמדו הציבורי הרעוע של המספר 34 הופך אותו כמובן לראשון המומלצים. ואולם, כדאי לשים לב כי מדובר בהמלצה שבעקבות השמעתה עשוי להתערער תוקפה: אפשר שפרסום הנתון יעלה את קרנו של המספר 34 בעיני מנחשים פוטנציאליים, מה שעלול לכרסם בחוסר-הפופולריות שלו. עוד יש להזכיר כי בהגרלת הלוטו הנהוגה בישראל כיום (מתכונת המשחק שונתה מאז נאספו הנתונים שתוארו למעלה), ששת המספרים שיש לנחש הם מהטווח שבין 1 ל-34, ולמתכונת ההגרלה תיתכן השפעה על השיעור היחסי שבו נבחר מספר זה או אחר.

ואולם, באשר למגמות העיקריות, נראה כי אפשר להצביע על עקביות ניכרת בדפוסי הניחוש של ציבור המהמרים מעבר למועד או למקום מסוים: מדיווחים מקבילים מן העולם⁹ עולה תמונה דומה, שלפיה מספרים נמוכים מופיעים בטופסי הניחוש בשיעורים גבוהים יחסית, ומספרים גבוהים - בשיעורים נמוכים יותר. גם העדיפות של תאים בפנים הטבלה, ואפילו מעמד הבכורה של המספר 7, אינם ייחודיים לקהל מסוים.