עבור רובנו, האנשים שמכירים את המספרים והמשוואות רק משיעורים משעממים בבית הספר, כל הנושא הזה נראה טכני, משעמם ומייגע- אבל כל מתמטיקאי יגיד לכם שמתמטיקה היא יפה. יש בה אלגנטיות מדהימה שנחשפת בעיקר כשאתה מגלה עד כמה היא מסוגלת לקשור יחדיו תופעות טבע שנראות, על פניו, בלתי קשורות לחלוטין זו לזו. הסיפור הבא ידגים את האלגנטיות הזו.
אדולף-ז'אק קטלה (Quetelet) נולד בעיר הבלגית גנט בשנת 1796. הוא היה איש אשכולות של ממש: כתב שירה, חיבר מחזות, תרגם ספרים וגם לימד מתמטיקה, פיסיקה ואסטרונומיה. הוא היה מדען מוצלח, והראשון שקיבל את התואר 'דוקטור למדעים' מאוניברסיטת גנט.
ב-1823 נשלח קטלה לפריז. המטרה המקורית של הביקור הייתה התמחות באסטרונומיה, אך בצרפת פגש קטלה את אחד מהמתמטיקאים הגדולים של דורו- פייר סימון לפלאס. זו הייתה פגישה גורלית עבור קטלה, שכן לפלאס הצית אצלו אהבה גדולה לסטטיסטיקה.
הסטטיסטיקה הייתה תחום צעיר ולא מפותח באותם הימים, אבל המתמטיקאים שעסקו בנושא זה כבר הספיקו לגלות כמה עובדות מסקרנות.
נניח, למשל, שאנחנו מודדים את הטמפרטורה של דלי מים רותחים באמצעות מד חום. מד החום איננו מושלם ולכן בכל פעם שנכניס אותו לתוך הדלי, נקבל תוצאה שונה. השינויים יהיו זעירים- שברירי מעלה לכאן או לכאן: במדידה אחת נקרא 100.5 מעלות, במדידה הבאה אולי 99.5 מעלות.
כדי להיות בטוחים בתוצאת המדידה שלנו, נבצע אלף מדידות שונות ונרשום את התוצאות בגרף: הציר האופקי בגרף יהיה הטמפרטורה הנמדדת והציר האנכי- כמה פעמים קיבלנו את אותה המדידה.
הגרף שנקבל יהיה בצורת פעמון: אזור מרכזי גבוה ושוליים שהולכים וקטנים בהדרגה. יהיו המון מדידות שנעות סביב נקודת מאה המעלות, ומעט מדידות שהולכות ומתרחקות ממנה- למשל, עשר מדידות של 101 מעלות, 5 מדידות של 102 מעלות ורק 3 מדידות של 104 מעלות.
המתמטיקאים נתקלו בגרף הפעמון הזה בהמון ניסויים שונים בפיסיקה. כמעט בכל פעם שמדידה חזרה על עצמה שוב ושוב, למשל- מדידת מהירות, זרם חשמלי, אורך, רוחב ומה לא- התוצאה הייתה עקומה של פעמון. למעשה, כל כך הרבה ניסויים ומדידות הפיקו את אותה צורת פעמון עד שהיא קיבלה את השם 'התפלגות נורמאלית': כך מתנהג הטבע באופן נורמלי.
אבל פיסיקה זה דבר אחד, ובני אדם זה משהו אחר. אנחנו לא דלי מים בעל טמפרטורה אחת- אנחנו שונים זה מזה. כל אחד מאיתנו נראה אחרת: גבוה, נמוך, רזה, שמן, קירח, שעיר ועוד ועוד. ההבדלים בין בני האדם, כך נדמה, הם אקראיים לחלוטין.
אדולף קטלה האמין שהוא מסוגל להכניס את בני האדם לתוך אותה מסגרת נוקשה שהציבה הסטטיסטיקה. "המקריות," טען קטלה, "היא רק צעיף המכסה על בערותינו."
כדי להוכיח את דבריו, קטלה מדד את גובהם של מאה אלף טירונים בצבא הצרפתי, וצייר את התוצאות על גרף. גובהם של רוב החיילים נע סביב איזה שהוא ערך מסוים- למשל, מטר ושבעים ס"מ- וככל שמתרחקים מאותו ערך מספר החיילים יורד. רק חלק קטן מהם מתנשא לגובה של מטר ותשעים או מטר וחמישים. אם התיאור הזה מוכר לכם, אתם צודקים: לגרף שקיבל קטלה היה צורה של…פעמון.
מכאן, שגם הגובה האנושי מציית לאותה התפלגות סטטיסטית 'נורמאלית' של מדידות טמפרטורה. קטלה מצא סדר מסוים בתכונה אנושית שעל פניו היא אקראית לחלוטין. קטלה מדד גם את היקף החזה של ששת אלפים חיילים סקוטיים, ושוב קיבל את אותה ההתפלגות הנורמאלית.
מנין הקשר שבין התנהגותו של מד-חום בתוך דלי מים רותחים, לגובה של חיילים צרפתים? על פניו, אלו תופעות שונות לחלוטין. קטלה ניסה לפתור את הדילמה הזו באמצעות הסבר מקורי: הוא טען שהטבע מנסה ליצור בן אדם (במקרה הזה, חייל צרפתי) בעל גובה 'אידיאלי'. אבל הטבע מפספס. במקום חייל בגובה האידיאלי, הוא מייצר חייל 'שגוי', בגובה שונה מהרצוי. הצטברות השגיאות הללו יוצרת את עקומת הפעמון, אותה עקומת פעמון שיוצרות גם שגיאות מדידת הטמפרטורה בדלי.
בעיניים מודרניות, קל לראות שקטלה טועה לחלוטין. הטבע לא מנסה 'ליצור' שום דבר, ואם כבר היה מנסה ליצור משהו מושלם- זה בטח לא יכול להיות חייל צרפתי.
כדי לסבך את העניינים עוד יותר, קטלה החליט למדוד דברים שונים לחלוטין. למשל, את שיעור ההתאבדויות בעיר מסויימת, או את חומרת הפשיעה לפי שנה, או התפלגות גיל הנישואים. גם שם, הוא גילה, הגרף נראה בדיוק אותו הדבר: התפלגות נורמלית.
המשמעות של הממצא הזה היא לא פחות ממדהימה. אותו חוק מתמטי, אותה 'משוואה' אם תרצו, שמתארת תופעות בעולם הפיסיקה והאסטרונומיה- מתארת גם תופעות שהן לחלוטין לא פיסיקליות, כמו גיל הנישואים בבלגיה ובצרפת. ישנו קשר עמוק וחבוי בין שני תחומים שנראים על פניו שונים לחלוטין, והקשר הזה הוא מתמטי. מהי משמעותו של ממצא זה- ורבים כמותו- על תפיסת העולם שלנו? האם המתמטיקה היא סוג של בד עליו מצוירת המציאות שלנו, בד אשר משמש כרקע משותף לכל תופעה שניתקל בה? זו שאלה שמרתקת את הפילוסופים של המתמטיקה כבר אלפי שנים, וכנראה תמשיך לעשות כן גם בעתיד הנראה לעין.
[סיפורו של קטלה לקוח מתוך הספר 'האם אלוהים הוא מתמטיקאי', מאת מריו ליביו. רן לוי הוא סופר מדע פ
